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初中
整体难度：中等
2023-05-24
题号
一
二
三
四
五
评分
一、选择题 (共10题)
添加该题型下试题
1.
下列运算中，计算正确的是（ ）
A ． 
B ． 
C ． 
D ． 
难度：
知识点：整式的乘法
使用次数：185
【答案】
C
【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．
【详解】 
，故 A 选项错误，不符合题意；
，故 B 选项错误，不符合题意；
，故 C 选项正确，符合题意；
，，故 D 选项错误，不符合题意；
故选： C ．
【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.
下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ． 
B ． 
C ． 
D ． 
难度：
知识点：轴对称
使用次数：220
【答案】
C
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解： ∵ 
是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴ 不符合题意；
∵ 
是轴对称图形，不是中心对称图形
∴ 不符合题意；
∵ 
不是轴对称图形，是中心对称图形
∴ 符合题意；
∵ 
是轴对称图形，不是中心对称图形
∴ 不符合题意；
故选 C ．
【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转 180° 后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键．
3.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴举办跳绳比赛，九年（ 2 ）班参加比赛的 6 名同学每分钟跳绳次数分别是 172 ， 169 ， 180 ， 182 ， 175 ， 176 ，这 6 个数据的中位数是（ ）
A ． 181 B ． 175 C ． 176 D ． 175.5
难度：
知识点：数据的集中趋势
使用次数：262
【答案】
D
【分析】先将这 6 个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．
【详解】解：将 172 ， 169 ， 180 ， 182 ， 175 ， 176 从小到大进行排序为： 169 ， 172 ， 175 ， 176 ， 180 ， 182 ，排在中间的两个数为 175 ， 176 ，
∴ 这 6 个数据的中位数为 
，故 D 正确．
故选： D ．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个时是求中间两个数的平均数．
4.
如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10
难度：
知识点：三视图
使用次数：125
【答案】
B
【分析】这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．
【详解】由俯视图可知最底层有 5 个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有 3 个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有 
个．
故选： B ．
【点睛】本题主要考查了德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5.
2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了 45 场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A ． 8 B ． 10 C ． 7 D ． 9
难度：
知识点：实际问题与一元二次方程
使用次数：141
【答案】
B
【分析】设有 x 支队伍，根据题意，得 
，解方程即可．
【详解】设有 x 支队伍，根据题意，得 ，
解方程，得 x 1 =10 ， x 2 =-9 （舍去），
故选 B ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
6.
已知关于 x 的分式方程 
的解是正数，则 m 的取值范围是（ ）
A ． 
B ． 
C ． 且 
D ． 且 
难度：
知识点：分式方程
使用次数：139
【答案】
C
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到 
且 
，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以 
，得 
，
解得 
，
关于 x 的分式方程 的解是正数，
，且 
，
即 且 ，
且 ，
故选： C ．
【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为 0 ，熟练掌握知识点是解题的关键．
7.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴 “ 双减 ” 政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费 360 元．其中毛笔每支 15 元，围棋每副 20 元，共有多少种购买方案？（ ）
A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
难度：
知识点：二元一次方程组
使用次数：141
【答案】
A
【分析】设设购买毛笔 x 支，围棋 y 副，根据总价 = 单价 × 数量，即可得出关于 x ， y 的二元一次方程，结合 x ， y 均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔 x 支，围棋 y 副，根据题意得，
15 x +20 y =360 ，即 3 x +4 y =72 ，
∴ y =18- 
x ．
又 ∵ x ， y 均为正整数，
∴ 
或 
或 
或 
或 
，
∴ 班长有 5 种购买方案．
故选： A ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系 “ 共花费 360 元 ” ，列出二元一次方程是解题的关键．
8.
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， M 为 BC 的中点， OA 、 OB 的长分别是一元二次方程 
的两个根 
， 
，动点 P 从点 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 
向点 B 运动，到达 B 点停止．设运动时间为 t 秒， 
的面积为 S ．
(1) 求点 C 的坐标；
(2) 求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
(3) 在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 
是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：反比例函数
使用次数：224
【答案】
(1) 点 C 坐标为 
(2) 
(3) 存在点 P 
或 
或 
，使 是等腰三角形
【分析】（ 1 ）先求出方程的解，可得 
， 
，再由 ，可得 
，然后根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 CD =7 ， 
，即可求解；
（ 2 ）分两种情况讨论：当 
时，当 
时，过点 A 作 
交 CB 的延长线于点 F ，即可求解；
（ 3 ）分三种情况讨论：当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ；当 
时；当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，即可求解．
【详解】（ 1 ）解： ，解得 
， 
，
∵ 
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 
，
∴ ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 
， 
，
∴ 点 C 坐标为 ；
（ 2 ）解：当 时， 
，
当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，如图，
，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 
，
∵ 
，
∴ 
，
∴ 
，
∴ 
，
∴ ；
（ 3 ）解：存在点 P ，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点 P 在 CD 上运动时， 可能是等腰三角形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ C =∠ BAD ， BC = AD =5 ，
∴ 
，
∵ 点 M 为 BC 的中点，
∴ 
，
当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ，
∴ 
，
设 PC = PM = a ，则 PD =7- a ， 
，
∵ PF 2 + FM 2 = PM 2 ，
∴ 
，解得： 
，
∴ 
，
∴ 此时点 P ；
当 时，
∴ 
，
∴ 此时点 P ；
当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，则 
，
∴ 
，
∴ PD =7- PC =4 ，
∴ 此时点 P ；
综上所述，存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
9.
如图， 
中， 
， AD 平分 
与 BC 相交于点 D ，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 DC 的中点，连接 EF 交 AD 于点 P ．若 的面积是 24 ， 
，则 PE 的长是（ ）
A ． 2.5 B ． 2 C ． 3.5 D ． 3
难度：
知识点：三角形全等的判定
使用次数：136
【答案】
A
【分析】连接 DE ，取 AD 的中点 G ，连接 EG ，先由等腰三角形 “ 三线合一 “ 性质，证得 AD ⊥ BC ， BD = CD ，再由 E 是 AB 的中点， G 是 AD 的中点，求出 S △ EGD =3 ，然后证 △ EGP ≌ △ FDP （ AAS ），得 GP = CP =1.5 ，从而得 DG =3 ，即可由三角形面积公式求出 EG 长，由勾股定理即可求出 PE 长．
【详解】解：如图，连接 DE ，取 AD 的中点 G ，连接 EG ，
∵ AB = AC ， AD 平分 与 BC 相交于点 D ，
∴ AD ⊥ BC ， BD = CD ，
∴ S △ ABD = 
=12 ，
∵ E 是 AB 的中点，
∴ S △ AED = 
=6 ，
∵ G 是 AD 的中点，
∴ S △ EGD = 
=3 ，
∵ E 是 AB 的中点， G 是 AD 的中点，
∴ EG 
BC ， EG = 
BD = CD ，
∴∠ EGP =∠ FDP =90° ，
∵ F 是 CD 的中点，
∴ DF = CD ，
∴ EG = DF ，
∵∠ EPG =∠ FPD ，
∴△ EGP ≌△ FDP （ AAS ），
∴ GP = PD =1.5 ，
∴ GD =3 ，
∵ S △ EGD = 
=3 ，即 
，
∴ EG =2 ，
在 Rt △ EGP 中，由勾股定理，得
PE = 
=2.5 ，
故选： A ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．
10.
如图，正方形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 F 是 CD 上一点， 
交 BC 于点 E ，连接 AE ， BF 交于点 P ，连接 OP ．则下列结论： ① 
； ② 
； ③ 
； ④ 若 
，则 
； ⑤ 四边形 OECF 的面积是正方形 ABCD 面积的 
．其中正确的结论是（ ）
A ． ①②④⑤ B ． ①②③⑤ C ． ①②③④ D ． ①③④⑤
难度：
知识点：三角形全等的判定
使用次数：115
【答案】
B
【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：
① 通过证明 
得到 EC = FD ，再证明 
得到 ∠ EAC =∠ FBD ，从而证明 ∠ BPQ =∠ AOQ =90° ，即 ；
② 通过等弦对等角可证明 
；
③ 通过正切定义得 
，利用合比性质变形得到 
，再通过证明 
得到 
，代入前式得 
，最后根据三角形面积公式得到 
，整体代入即可证得结论正确；
④ 作 EG ⊥ AC 于点 G 可得 EG BO ，根据 
，设正方形边长为 5 a ，分别求出 EG 、 AC 、 CG 的长，可求出 
，结论错误；
⑤ 将四边形 OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用 ，可证明 S 四边形 OECF = S △ COE + S △ COF = S △ DOF + S △ COF = S △ COD 即可证明结论正确．
【详解】 ①∵ 四边形 ABCD 是正方形， O 是对角线 AC 、 BD 的交点，
∴ OC = OD ， OC ⊥ OD ， ∠ ODF =∠ OCE =45°
∵
∴∠ DOF +∠ FOC =∠ FOC +∠ EOC =90°
∴∠ DOF =∠ EOC
在 △ DOF 与 △ COE 中
∴
∴ EC = FD
∵ 在 △ EAC 与 △ FBD 中 
∴
∴∠ EAC =∠ FBD
又 ∵∠ BQP =∠ AQO
∴∠ BPQ =∠ AOQ =90°
∴ AE ⊥ BF
所以 ① 正确；
②∵∠ AOB =∠ APB =90°
∴ 点 P 、 O 在以 AB 为直径的圆上
∴ AO 是该圆的弦
∴
所以 ② 正确；
③∵
∴ 
∴ 
∴ 
∴
∵ 
∴
∴ 
∴
∴
∵ 
∴
∴ 
所以 ③ 正确；
④ 作 EG ⊥ AC 于点 G ，则 EG BO ，
∴ 
设正方形边长为 5 a ，则 BC =5 a ， OB = OC = 
，
若 ，则 
，
∴ 
∴ 
∴ 
∵ EG ⊥ AC ， ∠ ACB =45° ，
∴∠ GEC =45°
∴ CG = EG = 
∴ 
所以 ④ 错误；
⑤∵ ， S 四边形 OECF = S △ COE + S △ COF
∴ S 四边形 OECF = S △ DOF + S △ COF = S △ COD
∵ S △ COD = 
∴ S 四边形 OECF =
所以 ⑤ 正确；
综上， ①②③⑤ 正确， ④ 错误，
故选 B
【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．
二、填空题 (共10题)
添加该题型下试题
1.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴南水北调东线北延工程 2021-2022 年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水 1.89 亿立方米，将数据 1.89 亿用科学记数法表示为 ．
难度：
知识点：有理数的乘除法
使用次数：264
【答案】
【分析】把亿写成 
，最后统一写成 
的形式即可．
【详解】解：由题意得： 1.89 亿 = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键．
2.
函数 
中自变量 
的取值范围是 ．
难度：
知识点：函数
使用次数：220
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0 ，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于 0 进行解题．
3.
如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 
，请你添加一个条件 ，使 
．
难度：
知识点：全等三角形
使用次数：266
【答案】
OB = OD （答案不唯一）
【分析】根据 SAS 添加 OB = OD 即可
【详解】解：添加 OB = OD ，
在 △ AOB 和 △ COD 中，
，
∴ （ SAS ）
故答案为 OB = OD （答案不唯一）
【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键．
4.
在一个不透明的口袋中，有 2 个红球和 4 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
难度：
知识点：数据的波动程度
使用次数：250
【答案】
【分析】利用概率公式计算即可．
【详解】 ∵ 不透明的口袋中，有 2 个红球和 4 个白球，
∴ 摸到红球的概率是 
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
5.
若关于 x 的一元一次不等式组 
的解集为 
，则 a 的取值范围是 ．
难度：
知识点：一元一次不等式组
使用次数：198
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解： 
，
解不等式 ① 得： 
，
解不等式 ② 得： 
，
关于 的不等式组 的解集为 
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
6.
如图，在 
中， AB 是 的弦， 的半径为 3cm ， C 为 上一点， 
，则 AB 的长为 cm ．
难度：
知识点：等腰三角形
使用次数：212
【答案】
【分析】连接 OA 、 OB ，过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D ，由垂径定理和圆周角定理可得 
， 
，再根据等腰三角形的性质可得 
，利用含 30° 角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 OA 、 OB ，过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D ，
， 
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含 30° 角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
7.
若一个圆锥的母线长为 5cm ，它的侧面展开图的圆心角为 120° ，则这个圆锥的底面半径为 cm ．
难度：
知识点：几何图形
使用次数：125
【答案】
【分析】由于圆锥的母线长为 5cm ，侧面展开图是圆心角为 120° 扇形，设圆锥底面半径为 r cm ，那么圆锥底面圆周长为 2 πr cm ，所以侧面展开图的弧长为 2 πr cm ，然后利用弧长公式即可得到关于 r 的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设圆锥底面半径为 r cm ，
则圆锥底面周长为： 
cm ，
∴ 侧面展开图的弧长为： cm ，
∴ 
，
解得： r = ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8.
如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， 
， 
， AH 是 的平分线， 
于点 E ，点 P 是直线 AB 上的一个动点，则 
的最小值是 ．
难度：
知识点：等腰三角形
使用次数：159
【答案】
/ 
【分析】作点 O 关于 AB 的对称点 F ，连接 OF 交 AB 于 G ，连接 PE 交直线 AB 于 P ，连接 PO ，则 PO = PF ，此时， PO + PE 最小，最小值 = EF ，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出 OF ， OE 长，再证明 △ EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出 EF 长即可．
【详解】解：如图，作点 O 关于 AB 的对称点 F ，连接 OF 交 AB 于 G ，连接 PE 交直线 AB 于 P ，连接 PO ，则 PO = PF ，此时， PO + PE 最小，最小值 = EF 的长，
∵ 菱形 ABCD ，
∴ AC ⊥ BD ， OA = OC ， OB = OD ， AD = AB =3 ，
∵∠ BAD =60° ，
∴△ ABD 是等边三角形，
∴ BD = AB =3 ， ∠ BAO =30° ，
∴ OB = 
= 
，
∴ OA = 
，
∴ 点 O 关于 AB 的对称点 F ，
∴ OF ⊥ AB ， OG = FG ，
∴ OF =2 OG = OA = ， ∠ AOG =60° ，
∵ CE ⊥ AH 于 E ， OA = OC ，
∴ OE = OC = OA = ，
∴∠ AEC =∠ CAE ，
∵ AH 平分 ∠ BAC ，
∴∠ CAE =15° ，
∴∠ AEO =∠ CAE =15° ，
∴∠ COE =∠ AEO +∠ CAE =30° ，
∴∠ COE +∠ AOG =30°+60°=90° ，
∴∠ FOE =90° ，
∴ 由勾股定理，得 EF = 
,
∴ PO + PE 最小值 = 
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点 O 关于 AB 的对称点 F ，连接 OF 交 AB 于 G ，连接 PE 交直线 AB 于 P ，连接 PO ，则 PO = PF ，则 PO + PE 最小，最小值 = EF 的长是解题的关键．
9.
在矩形 ABCD 中， 
， 
，点 E 在边 CD 上，且 
，点 P 是直线 BC 上的一个动点．若 
是直角三角形，则 BP 的长为 ．
难度：
知识点：相似三角形
采用次数：214
【答案】
或 
或 6
【分析】分三种情况讨论：当 ∠ APE =90° 时，当 ∠ AEP =90° 时，当 ∠ PAE =90° 时，过点 P 作 PF ⊥ DA 交 DA 延长线于点 F ，即可求解．
【详解】解：在矩形 ABCD 中， 
， 
， ∠ BAD =∠ B =∠ BCD =∠ ADC =90° ，
如图，当 ∠ APE =90° 时，
∴∠ APB +∠ CPE =90° ，
∵∠ BAP +∠ APB =90° ，
∴∠ BAP =∠ CPE ，
∵∠ B =∠ C =90° ，
∴△ ABP ∽△ PCE ，
∴ 
，即 
，
解得： BP =6 ；
如图，当 ∠ AEP =90° 时，
∴∠ AED +∠ PEC =90° ，
∵∠ DAE +∠ AED =90° ，
∴∠ DAE =∠ PEC ，
∵∠ C =∠ D =90° ，
∴△ ADE ∽△ ECP ，
∴ 
，即 
，
解得： 
，
∴ 
；
如图，当 ∠ PAE =90° 时，过点 P 作 PF ⊥ DA 交 DA 延长线于点 F ，
根据题意得 ∠ BAF =∠ ABP =∠ F =90° ，
∴ 四边形 ABPF 为矩形，
∴ PF = AB =9 ， AF = PB ，
∵∠ PAF +∠ DAE =90° ， ∠ PAF +∠ APF =90° ，
∴∠ DAE =∠ APF ，
∵∠ F =∠ D =90° ，
∴△ APF ∽△ EAD ，
∴ 
，即 
，
解得： 
，即 
；
综上所述， BP 的长为 或 或 6 ．
故答案为： 或 或 6
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
10.
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， M 为 BC 的中点， OA 、 OB 的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，动点 P 从点 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 向点 B 运动，到达 B 点停止．设运动时间为 t 秒， 的面积为 S ．
(1) 求点 C 的坐标；
(2) 求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
(3) 在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：一次函数
使用次数：263
【答案】
(1) 点 C 坐标为
(2)
(3) 存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【分析】（ 1 ）先求出方程的解，可得 ， ，再由 ，可得 ，然后根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 CD =7 ， ，即可求解；
（ 2 ）分两种情况讨论：当 时，当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，即可求解；
（ 3 ）分三种情况讨论：当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ；当 时；当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，即可求解．
【详解】（ 1 ）解： ，解得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ 点 C 坐标为 ；
（ 2 ）解：当 时， ，
当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，如图，
，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：存在点 P ，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点 P 在 CD 上运动时， 可能是等腰三角形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ C =∠ BAD ， BC = AD =5 ，
∴ ，
∵ 点 M 为 BC 的中点，
∴ ，
当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ，
∴ ，
设 PC = PM = a ，则 PD =7- a ， ，
∵ PF 2 + FM 2 = PM 2 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 时，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，则 ，
∴ ，
∴ PD =7- PC =4 ，
∴ 此时点 P ；
综上所述，存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
三、解答题 (共7题)
添加该题型下试题
1.
先化简，再求值： 
，其中 
．
难度：
知识点：分式的运算
使用次数：254
【答案】
， 
【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出 a 值，然后把 a 值代入化简式计算即可．
【详解】解：原式 
，
当 
时，
原式 
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2.
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 
， 
， 
．
(1) 将 先向左平移 6 个单位，再向上平移 4 个单位，得到 
，画出两次平移后的 ，并写出点 
的坐标；
(2) 画出 绕点 
顺时针旋转 90° 后得到 
，并写出点 
的坐标；
(3) 在（ 2 ）的条件下，求点 旋转到点 的过程中所经过的路径长（结果保留 
）．
难度：
知识点：弧长和扇形面积
使用次数：175
【答案】
(1) 见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴； 
(2) 见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴； 
(3) 点 旋转到点 所经过的路径长为 
【分析】（ 1 ）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；
（ 2 ）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；
（ 3 ）根据旋转可得点 旋转到点 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（ 1 ）解：如图所示 △ A 1 B 1 C 1 即为所求，
；
（ 2 ）如图所示 △ A 2 B 2 C 2 即为所求， ；
（ 3 ） ∵ 
∴ 点 旋转到点 所经过的路径长为 
．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，熟练掌握和灵活运用这些知识点是解题的关键．
3.
如图，抛物线 
经过点 
，点 
，与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点为 D ．
(1) 求抛物线的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式；
(2) 抛物线上是否存在点 P ，使 
的面积是 
面积的 4 倍，若存在，请直接写出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：二次函数的图象和性质
使用次数：214
【答案】
(1) 
(2) 存在， 
， 
【分析】（ 1 ）将点 ，点 ，代入抛物线得 
，求出 
的值，进而可得抛物线的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式．
（ 2 ）将德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式化成顶点式得 
，可得 
点坐标，将 
代入得， 
，可得 
点坐标，求出 
的值，根据 
可得 
，设 
，则 
，求出 
的值，进而可得 
点坐标．
【详解】（ 1 ）解： ∵ 抛物线 过点 ，点 ，
∴ ，
解得 
，
∴ 抛物线的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式为： ．
（ 2 ）解：存在．
∵ ，
∴ 
，
将 代入得， ，
∴ 
，
又 ∵ B （ 2 ， -3 ），
∴ BC // x 轴，
∴ 到线段 
的距离为 1 ， 
，
∴ 
，
∴ 
，
设 ，由题意可知点 P 在直线 BC 上方，
则 ，
整理得， 
，
解得 
，或 
，
∴ ， ，
∴ 存在点 P ，使 的面积是 面积的 4 倍，点 P 的坐标为 ， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4.
为进一步开展 “ 睡眠管理 ” 工作，某校对部分德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴的睡眠情况进行了问卷调查．设每名德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴平均每天的睡眠时间为 x 小时，其中的分组情况是：
A 组： 
B 组： 
C 组： 
D 组： 
E 组： 
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1) 本次共调查了 _______ 名德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴；
(2) 补全条形统计图；
(3) 在扇形统计图中，求 D 组所对应的扇形圆心角的度数；
(4) 若该校有 1500 名德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴，请估计该校睡眠时间不足 9 小时的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴有多少人？
难度：
知识点：统计调查
使用次数：254
【答案】
(1)100
(2) 补全统计图见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴
(3) D 组所对应的扇形圆心角度数为 
(4) 估计该校睡眠时间不足 9 小时的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴有 375 人
【分析】（ 1 ）根据统计图中 
组的人数与占比，计算求解即可；
（ 2 ）根据 
组人数占比为 
，求出 组人数为 
人，然后作差求出 
组人数，最后补全统计图即可；
（ 3 ）根据 组人数的占比乘以 
计算求解即可；
（ 4 ）根据 
两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可．
【详解】（ 1 ）解：由统计图可知，本次共调查了 
（人），
故答案为： 100 ．
（ 2 ）解：由统计图可知， 组人数占比为 ，
∴ 组人数为 
（人），
∴ 组人数为 
（人），
∴ 补全统计图如图所示
（ 3 ）解：由题意知， D 组所对应的扇形圆心角度数为 
，
∴ D 组所对应的扇形圆心角度数为 ．
（ 4 ）解：由题意知， 
（人）
∴ 估计该校睡眠时间不足 9 小时的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴有 375 人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．
5.
为抗击疫情，支援 B 市， A 市某蔬菜德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴紧急调运两车蔬菜运往 B 市．甲、乙两辆货车从 A 市出发前往 B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达 B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往 B 市．乙车维修完毕后立即返回 A 市．两车离 A 市的距离 y （ km ）与乙车所用时间 x （ h ）之间的函数图象如图所示．
(1) 甲车速度是 _______km/h ，乙车出发时速度是 _______km/h ；
(2) 求乙车返回过程中，乙车离 A 市的距离 y （ km ）与乙车所用时间 x （ h ）的函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3) 乙车出发多少小时，两车之间的距离是 120km ？请直接写出答案．
难度：
知识点：函数
使用次数：154
【答案】
(1)100 60
(2) 
(3)3 ， 6.3 ， 9.1
【分析】（ 1 ）根据图象分别得出甲车 5h 的路程为 500km ，乙车 5h 的路程为 300km ，即可确定各自的速度；
（ 2 ）设 
，由图象可得经过点（ 9 ， 300 ），（ 12 ， 0 ）点，利用待定系数法即可确定函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式；
（ 3 ）乙出发的时间为 t 时，相距 120km ，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可．
【详解】（ 1 ）解：根据图象可得，甲车 5 h 的路程为 500km ，
∴ 甲的速度为： 500÷5=100km/h ；
乙车 5 h 的路程为 300km ，
∴ 乙的速度为： 300÷5=60km/h ；
故答案为： 100 ； 60 ；
（ 2 ）设 ，由图象可得经过点（ 9 ， 300 ），（ 12 ， 0 ）点，
代入得 
，
解得 
∴ y 与 x 的函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式为 ；
（ 3 ）解：设乙出发的时间为 t 时，相距 120km ，
根据图象可得，
当 0< t <5 时，
100 t -60 t =120 ，
解得： t =3 ；
当 5< t <5.5 时，根据图象可得不满足条件；
当 5.5< t <8 时，
500-100 （ t -5.5 ） -300=120 ，
解得： t =6.3 ；
当 8< t <9 时，
100 （ t -8 ） =120 ，
解得： t =9.2 ，不符合题意，舍去；
当 9< t <12 时，
100× （ 9-8 ） +100 （ t -9 ） +100 （ t -9 ） =120 ，
解得： t =9.1 ；
综上可得：乙车出发 3h 、 6.3h 与 9.1h 时，两车之间的距离为 120km ．
【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键．
6.
和 
都是等边三角形．
(1) 将 绕点 A 旋转到图 ① 的位置时，连接 BD ， CE 并延长相交于点 P （点 P 与点 A 重合），有 
（或 
）成立；请证明．
(2) 将 绕点 A 旋转到图 ② 的位置时，连接 BD ， CE 相交于点 P ，连接 PA ，猜想线段 PA 、 PB 、 PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3) 将 绕点 A 旋转到图 ③ 的位置时，连接 BD ， CE 相交于点 P ，连接 PA ，猜想线段 PA 、 PB 、 PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
难度：
知识点：三角形全等的判定
使用次数：258
【答案】
(1) 证明见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴
(2) 图 ② 结论： 
，证明见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴
(3) 图 ③ 结论：
【分析】（ 1 ）由 △ ABC 是等边三角形，得 AB = AC ，再因为点 P 与点 A 重合，所以 PB = AB ， PC = AC ， PA =0 ，即可得出结论；
（ 2 ）在 BP 上截取 
，连接 AF ，证明 
（ SAS ），得 
，再证明 
（ SAS ），得 
， 
，然后证明 
是等边三角形，得 
，即可得出结论；
（ 3 ）在 CP 上截取 
，连接 AF ，证明 （ SAS ），得 ，再证明 
（ SAS ），得出 
， 
，然后证明 是等边三角形，得 ，即可得出结论： 
．
【详解】（ 1 ）证明： ∵△ ABC 是等边三角形，
∴ AB = AC ，
∵ 点 P 与点 A 重合，
∴ PB = AB ， PC = AC ， PA =0 ，
∴ 或 ；
（ 2 ）解：图 ② 结论：
证明：在 BP 上截取 ，连接 AF ，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， 
， 
∴ 
，
∴ 
，
∴ （ SAS ），
∴ ，
∵ AC = AB ， CP = BF ，
∴ （ SAS ），
∴ ， ，
∴ 
，
∴ 
，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 
；
（ 3 ）解：图 ③ 结论： ，
理由：在 CP 上截取 ，连接 AF ，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ 
，
∴ ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
∵ AB = AC ， BP = CF ，
∴ （ SAS ），
∴ ， ，
∴ 
，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴开展大课间活动，某班需要购买 A 、 B 两种跳绳．已知购进 10 根 A 种跳绳和 5 根 B 种跳绳共需 175 元：购进 15 根 A 种跳绳和 10 根 B 种跳绳共需 300 元．
(1) 求购进一根 A 种跳绳和一根 B 种跳绳各需多少元？
(2) 设购买 A 种跳绳 m 根，若班级计划购买 A 、 B 两种跳绳共 45 根，所花费用不少于 548 元且不多于 560 元，则有哪几种购买方案？
(3) 在（ 2 ）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
难度：
知识点：一元一次不等式组
使用次数：217
【答案】
(1) 购进一根 A 种跳绳需 10 元，购进一根 B 种跳绳需 15 元
(2) 有三种方案：方案一：购买 A 种跳绳 23 根， B 种跳绳 22 根；方案二：购买 A 种跳绳 24 根， B 种跳绳 21 根；方案三：购买 A 种跳绳 25 根， B 种跳绳 20 根
(3) 方案三需要费用最少，最少费用是 550 元
【分析】（ 1 ）设购进一根 A 种跳绳需 x 元，购进一根 B 种跳绳需 y 元，可列方程组 
，解方程组即可求得结果；
（ 2 ）根据题意可列出不等式组 
，解不等式组得到解集再结合 m 为正整数即可确定方案；
（ 3 ）设购买跳绳所需费用为 w 元，根据题意，得 
，结合函数的性质，可知 w 随 m 的增大而减小，由此即可求得答案．
【详解】（ 1 ）解：设购进一根 A 种跳绳需 x 元，购进一根 B 种跳绳需 y 元，
根据题意，得 ，
解得 
，
答：购进一根 A 种跳绳需 10 元，购进一根 B 种跳绳需 15 元；
（ 2 ）根据题意，得 ，
解得 
，
∵ m 为整数， ∴ m 可取 23 ， 24 ， 25 ．
∴ 有三种方案：方案一：购买 A 种跳绳 23 根， B 种跳绳 22 根；
方案二：购买 A 种跳绳 24 根， B 种跳绳 21 根；
方案三：购买 A 种跳绳 25 根， B 种跳绳 20 根；
（ 3 ）设购买跳绳所需费用为 w 元，根据题意，得 
∵ 
，
∴ w 随 m 的增大而减小，
∴ 当 
时， w 有最小值，即 w 
（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是 550 元．
【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
四、未分类 (共1题)
添加该题型下试题
1.
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， M 为 BC 的中点， OA 、 OB 的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，动点 P 从点 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 向点 B 运动，到达 B 点停止．设运动时间为 t 秒， 的面积为 S ．
(1) 求点 C 的坐标；
(2) 求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
(3) 在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：未分类
使用次数：212
【答案】
(1) 点 C 坐标为
(2)
(3) 存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【分析】（ 1 ）先求出方程的解，可得 ， ，再由 ，可得 ，然后根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 CD =7 ， ，即可求解；
（ 2 ）分两种情况讨论：当 时，当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，即可求解；
（ 3 ）分三种情况讨论：当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ；当 时；当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，即可求解．
【详解】（ 1 ）解： ，解得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ 点 C 坐标为 ；
（ 2 ）解：当 时， ，
当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，如图，
，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：存在点 P ，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点 P 在 CD 上运动时， 可能是等腰三角形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ C =∠ BAD ， BC = AD =5 ，
∴ ，
∵ 点 M 为 BC 的中点，
∴ ，
当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ，
∴ ，
设 PC = PM = a ，则 PD =7- a ， ，
∵ PF 2 + FM 2 = PM 2 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 时，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，则 ，
∴ ，
∴ PD =7- PC =4 ，
∴ 此时点 P ；
综上所述，存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
2022年德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴省龙东地区中考数学德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴
初中
整体难度：中等
2023-05-24
整体难度：中等
2023-05-24
题号
一
二
三
四
五
评分
一、选择题 (共10题)
添加该题型下试题
1.
下列运算中，计算正确的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
难度：
知识点：整式的乘法
使用次数：185
【答案】
C
【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．
【详解】 ，故 A 选项错误，不符合题意；
，故 B 选项错误，不符合题意；
，故 C 选项正确，符合题意；
，，故 D 选项错误，不符合题意；
故选： C ．
【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.
下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
难度：
知识点：轴对称
使用次数：220
【答案】
C
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解： ∵ 是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴ 不符合题意；
∵ 是轴对称图形，不是中心对称图形
∴ 不符合题意；
∵ 不是轴对称图形，是中心对称图形
∴ 符合题意；
∵ 是轴对称图形，不是中心对称图形
∴ 不符合题意；
故选 C ．
【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转 180° 后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键．
3.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴举办跳绳比赛，九年（ 2 ）班参加比赛的 6 名同学每分钟跳绳次数分别是 172 ， 169 ， 180 ， 182 ， 175 ， 176 ，这 6 个数据的中位数是（ ）
A ． 181 B ． 175 C ． 176 D ． 175.5
难度：
知识点：数据的集中趋势
使用次数：262
【答案】
D
【分析】先将这 6 个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．
【详解】解：将 172 ， 169 ， 180 ， 182 ， 175 ， 176 从小到大进行排序为： 169 ， 172 ， 175 ， 176 ， 180 ， 182 ，排在中间的两个数为 175 ， 176 ，
∴ 这 6 个数据的中位数为 ，故 D 正确．
故选： D ．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个时是求中间两个数的平均数．
4.
如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10
难度：
知识点：三视图
使用次数：125
【答案】
B
【分析】这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．
【详解】由俯视图可知最底层有 5 个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有 3 个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有 个．
故选： B ．
【点睛】本题主要考查了德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5.
2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了 45 场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A ． 8 B ． 10 C ． 7 D ． 9
难度：
知识点：实际问题与一元二次方程
使用次数：141
【答案】
B
【分析】设有 x 支队伍，根据题意，得 ，解方程即可．
【详解】设有 x 支队伍，根据题意，得 ，
解方程，得 x 1 =10 ， x 2 =-9 （舍去），
故选 B ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
6.
已知关于 x 的分式方程 的解是正数，则 m 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． 且 D ． 且
难度：
知识点：分式方程
使用次数：139
【答案】
C
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到 且 ，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以 ，得 ，
解得 ，
关于 x 的分式方程 的解是正数，
，且 ，
即 且 ，
且 ，
故选： C ．
【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为 0 ，熟练掌握知识点是解题的关键．
7.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴 “ 双减 ” 政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费 360 元．其中毛笔每支 15 元，围棋每副 20 元，共有多少种购买方案？（ ）
A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
难度：
知识点：二元一次方程组
使用次数：141
【答案】
A
【分析】设设购买毛笔 x 支，围棋 y 副，根据总价 = 单价 × 数量，即可得出关于 x ， y 的二元一次方程，结合 x ， y 均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔 x 支，围棋 y 副，根据题意得，
15 x +20 y =360 ，即 3 x +4 y =72 ，
∴ y =18- x ．
又 ∵ x ， y 均为正整数，
∴ 或 或 或 或 ，
∴ 班长有 5 种购买方案．
故选： A ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系 “ 共花费 360 元 ” ，列出二元一次方程是解题的关键．
8.
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， M 为 BC 的中点， OA 、 OB 的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，动点 P 从点 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 向点 B 运动，到达 B 点停止．设运动时间为 t 秒， 的面积为 S ．
(1) 求点 C 的坐标；
(2) 求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
(3) 在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：反比例函数
使用次数：224
【答案】
(1) 点 C 坐标为
(2)
(3) 存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【分析】（ 1 ）先求出方程的解，可得 ， ，再由 ，可得 ，然后根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 CD =7 ， ，即可求解；
（ 2 ）分两种情况讨论：当 时，当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，即可求解；
（ 3 ）分三种情况讨论：当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ；当 时；当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，即可求解．
【详解】（ 1 ）解： ，解得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ 点 C 坐标为 ；
（ 2 ）解：当 时， ，
当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，如图，
，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：存在点 P ，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点 P 在 CD 上运动时， 可能是等腰三角形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ C =∠ BAD ， BC = AD =5 ，
∴ ，
∵ 点 M 为 BC 的中点，
∴ ，
当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ，
∴ ，
设 PC = PM = a ，则 PD =7- a ， ，
∵ PF 2 + FM 2 = PM 2 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 时，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，则 ，
∴ ，
∴ PD =7- PC =4 ，
∴ 此时点 P ；
综上所述，存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
9.
如图， 中， ， AD 平分 与 BC 相交于点 D ，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 DC 的中点，连接 EF 交 AD 于点 P ．若 的面积是 24 ， ，则 PE 的长是（ ）
A ． 2.5 B ． 2 C ． 3.5 D ． 3
难度：
知识点：三角形全等的判定
使用次数：136
【答案】
A
【分析】连接 DE ，取 AD 的中点 G ，连接 EG ，先由等腰三角形 “ 三线合一 “ 性质，证得 AD ⊥ BC ， BD = CD ，再由 E 是 AB 的中点， G 是 AD 的中点，求出 S △ EGD =3 ，然后证 △ EGP ≌ △ FDP （ AAS ），得 GP = CP =1.5 ，从而得 DG =3 ，即可由三角形面积公式求出 EG 长，由勾股定理即可求出 PE 长．
【详解】解：如图，连接 DE ，取 AD 的中点 G ，连接 EG ，
∵ AB = AC ， AD 平分 与 BC 相交于点 D ，
∴ AD ⊥ BC ， BD = CD ，
∴ S △ ABD = =12 ，
∵ E 是 AB 的中点，
∴ S △ AED = =6 ，
∵ G 是 AD 的中点，
∴ S △ EGD = =3 ，
∵ E 是 AB 的中点， G 是 AD 的中点，
∴ EG BC ， EG = BD = CD ，
∴∠ EGP =∠ FDP =90° ，
∵ F 是 CD 的中点，
∴ DF = CD ，
∴ EG = DF ，
∵∠ EPG =∠ FPD ，
∴△ EGP ≌△ FDP （ AAS ），
∴ GP = PD =1.5 ，
∴ GD =3 ，
∵ S △ EGD = =3 ，即 ，
∴ EG =2 ，
在 Rt △ EGP 中，由勾股定理，得
PE = =2.5 ，
故选： A ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．
10.
如图，正方形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 F 是 CD 上一点， 交 BC 于点 E ，连接 AE ， BF 交于点 P ，连接 OP ．则下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 若 ，则 ； ⑤ 四边形 OECF 的面积是正方形 ABCD 面积的 ．其中正确的结论是（ ）
A ． ①②④⑤ B ． ①②③⑤ C ． ①②③④ D ． ①③④⑤
难度：
知识点：三角形全等的判定
使用次数：115
【答案】
B
【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：
① 通过证明 得到 EC = FD ，再证明 得到 ∠ EAC =∠ FBD ，从而证明 ∠ BPQ =∠ AOQ =90° ，即 ；
② 通过等弦对等角可证明 ；
③ 通过正切定义得 ，利用合比性质变形得到 ，再通过证明 得到 ，代入前式得 ，最后根据三角形面积公式得到 ，整体代入即可证得结论正确；
④ 作 EG ⊥ AC 于点 G 可得 EG BO ，根据 ，设正方形边长为 5 a ，分别求出 EG 、 AC 、 CG 的长，可求出 ，结论错误；
⑤ 将四边形 OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用 ，可证明 S 四边形 OECF = S △ COE + S △ COF = S △ DOF + S △ COF = S △ COD 即可证明结论正确．
【详解】 ①∵ 四边形 ABCD 是正方形， O 是对角线 AC 、 BD 的交点，
∴ OC = OD ， OC ⊥ OD ， ∠ ODF =∠ OCE =45°
∵
∴∠ DOF +∠ FOC =∠ FOC +∠ EOC =90°
∴∠ DOF =∠ EOC
在 △ DOF 与 △ COE 中
∴
∴ EC = FD
∵ 在 △ EAC 与 △ FBD 中
∴
∴∠ EAC =∠ FBD
又 ∵∠ BQP =∠ AQO
∴∠ BPQ =∠ AOQ =90°
∴ AE ⊥ BF
所以 ① 正确；
②∵∠ AOB =∠ APB =90°
∴ 点 P 、 O 在以 AB 为直径的圆上
∴ AO 是该圆的弦
∴
所以 ② 正确；
③∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
所以 ③ 正确；
④ 作 EG ⊥ AC 于点 G ，则 EG BO ，
∴
设正方形边长为 5 a ，则 BC =5 a ， OB = OC = ，
若 ，则 ，
∴
∴
∴
∵ EG ⊥ AC ， ∠ ACB =45° ，
∴∠ GEC =45°
∴ CG = EG =
∴
所以 ④ 错误；
⑤∵ ， S 四边形 OECF = S △ COE + S △ COF
∴ S 四边形 OECF = S △ DOF + S △ COF = S △ COD
∵ S △ COD =
∴ S 四边形 OECF =
所以 ⑤ 正确；
综上， ①②③⑤ 正确， ④ 错误，
故选 B
【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．
1.
下列运算中，计算正确的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
难度：
知识点：整式的乘法
使用次数：185
【答案】
C
【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．
【详解】 ，故 A 选项错误，不符合题意；
，故 B 选项错误，不符合题意；
，故 C 选项正确，符合题意；
，，故 D 选项错误，不符合题意；
故选： C ．
【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.
下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
难度：
知识点：轴对称
使用次数：220
【答案】
C
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解： ∵ 是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴ 不符合题意；
∵ 是轴对称图形，不是中心对称图形
∴ 不符合题意；
∵ 不是轴对称图形，是中心对称图形
∴ 符合题意；
∵ 是轴对称图形，不是中心对称图形
∴ 不符合题意；
故选 C ．
【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转 180° 后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键．
3.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴举办跳绳比赛，九年（ 2 ）班参加比赛的 6 名同学每分钟跳绳次数分别是 172 ， 169 ， 180 ， 182 ， 175 ， 176 ，这 6 个数据的中位数是（ ）
A ． 181 B ． 175 C ． 176 D ． 175.5
难度：
知识点：数据的集中趋势
使用次数：262
【答案】
D
【分析】先将这 6 个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．
【详解】解：将 172 ， 169 ， 180 ， 182 ， 175 ， 176 从小到大进行排序为： 169 ， 172 ， 175 ， 176 ， 180 ， 182 ，排在中间的两个数为 175 ， 176 ，
∴ 这 6 个数据的中位数为 ，故 D 正确．
故选： D ．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个时是求中间两个数的平均数．
4.
如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10
难度：
知识点：三视图
使用次数：125
【答案】
B
【分析】这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．
【详解】由俯视图可知最底层有 5 个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有 3 个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有 个．
故选： B ．
【点睛】本题主要考查了德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5.
2022 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了 45 场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A ． 8 B ． 10 C ． 7 D ． 9
难度：
知识点：实际问题与一元二次方程
使用次数：141
【答案】
B
【分析】设有 x 支队伍，根据题意，得 ，解方程即可．
【详解】设有 x 支队伍，根据题意，得 ，
解方程，得 x 1 =10 ， x 2 =-9 （舍去），
故选 B ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
6.
已知关于 x 的分式方程 的解是正数，则 m 的取值范围是（ ）
A ． B ．
C ．
且
D ．
且
难度：
知识点：分式方程
使用次数：139
【答案】
C
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到 且
，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以 ，得
，
解得 ，
关于 x 的分式方程
的解是正数，
，且
，
即 且
，
且
，
故选： C ．
【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为 0 ，熟练掌握知识点是解题的关键．
7.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴 “ 双减 ” 政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费 360 元．其中毛笔每支 15 元，围棋每副 20 元，共有多少种购买方案？（ ）
A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
难度：
知识点：二元一次方程组
使用次数：141
【答案】
A
【分析】设设购买毛笔 x 支，围棋 y 副，根据总价 = 单价 × 数量，即可得出关于 x ， y 的二元一次方程，结合 x ， y 均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔 x 支，围棋 y 副，根据题意得，
15 x +20 y =360 ，即 3 x +4 y =72 ，
∴ y =18- x ．
又 ∵ x ， y 均为正整数，
∴ 或
或
或
或
，
∴ 班长有 5 种购买方案．
故选： A ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系 “ 共花费 360 元 ” ，列出二元一次方程是解题的关键．
8.
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， M 为 BC 的中点， OA 、 OB 的长分别是一元二次方程 的两个根
，
，动点 P 从点 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线
向点 B 运动，到达 B 点停止．设运动时间为 t 秒，
的面积为 S ．
(1) 求点 C 的坐标；
(2) 求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
(3) 在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：反比例函数
使用次数：224
【答案】
(1) 点 C 坐标为
(2)
(3) 存在点 P 或
或
，使
是等腰三角形
【分析】（ 1 ）先求出方程的解，可得 ，
，再由
，可得
，然后根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 CD =7 ，
，即可求解；
（ 2 ）分两种情况讨论：当 时，当
时，过点 A 作
交 CB 的延长线于点 F ，即可求解；
（ 3 ）分三种情况讨论：当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ；当 时；当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，即可求解．
【详解】（ 1 ）解： ，解得
，
，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
，
∴ 点 C 坐标为 ；
（ 2 ）解：当 时，
，
当 时，过点 A 作
交 CB 的延长线于点 F ，如图，
，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：存在点 P ，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点 P 在 CD 上运动时， 可能是等腰三角形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ C =∠ BAD ， BC = AD =5 ，
∴ ，
∵ 点 M 为 BC 的中点，
∴ ，
当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ，
∴ ，
设 PC = PM = a ，则 PD =7- a ， ，
∵ PF 2 + FM 2 = PM 2 ，
∴ ，解得：
，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 时，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，则 ，
∴ ，
∴ PD =7- PC =4 ，
∴ 此时点 P ；
综上所述，存在点 P 或
或
，使
是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
9.
如图， 中，
， AD 平分
与 BC 相交于点 D ，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 DC 的中点，连接 EF 交 AD 于点 P ．若
的面积是 24 ，
，则 PE 的长是（ ）
A ． 2.5 B ． 2 C ． 3.5 D ． 3
难度：
知识点：三角形全等的判定
使用次数：136
【答案】
A
【分析】连接 DE ，取 AD 的中点 G ，连接 EG ，先由等腰三角形 “ 三线合一 “ 性质，证得 AD ⊥ BC ， BD = CD ，再由 E 是 AB 的中点， G 是 AD 的中点，求出 S △ EGD =3 ，然后证 △ EGP ≌ △ FDP （ AAS ），得 GP = CP =1.5 ，从而得 DG =3 ，即可由三角形面积公式求出 EG 长，由勾股定理即可求出 PE 长．
【详解】解：如图，连接 DE ，取 AD 的中点 G ，连接 EG ，
∵ AB = AC ， AD 平分 与 BC 相交于点 D ，
∴ AD ⊥ BC ， BD = CD ，
∴ S △ ABD = =12 ，
∵ E 是 AB 的中点，
∴ S △ AED = =6 ，
∵ G 是 AD 的中点，
∴ S △ EGD = =3 ，
∵ E 是 AB 的中点， G 是 AD 的中点，
∴ EG BC ， EG =
BD =
CD ，
∴∠ EGP =∠ FDP =90° ，
∵ F 是 CD 的中点，
∴ DF = CD ，
∴ EG = DF ，
∵∠ EPG =∠ FPD ，
∴△ EGP ≌△ FDP （ AAS ），
∴ GP = PD =1.5 ，
∴ GD =3 ，
∵ S △ EGD = =3 ，即
，
∴ EG =2 ，
在 Rt △ EGP 中，由勾股定理，得
PE = =2.5 ，
故选： A ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．
10.
如图，正方形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 F 是 CD 上一点， 交 BC 于点 E ，连接 AE ， BF 交于点 P ，连接 OP ．则下列结论： ①
； ②
； ③
； ④ 若
，则
； ⑤ 四边形 OECF 的面积是正方形 ABCD 面积的
．其中正确的结论是（ ）
A ． ①②④⑤ B ． ①②③⑤ C ． ①②③④ D ． ①③④⑤
难度：
知识点：三角形全等的判定
使用次数：115
【答案】
B
【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：
① 通过证明 得到 EC = FD ，再证明
得到 ∠ EAC =∠ FBD ，从而证明 ∠ BPQ =∠ AOQ =90° ，即
；
② 通过等弦对等角可证明 ；
③ 通过正切定义得 ，利用合比性质变形得到
，再通过证明
得到
，代入前式得
，最后根据三角形面积公式得到
，整体代入即可证得结论正确；
④ 作 EG ⊥ AC 于点 G 可得 EG BO ，根据
，设正方形边长为 5 a ，分别求出 EG 、 AC 、 CG 的长，可求出
，结论错误；
⑤ 将四边形 OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用 ，可证明 S 四边形 OECF = S △ COE + S △ COF = S △ DOF + S △ COF = S △ COD 即可证明结论正确．
【详解】 ①∵ 四边形 ABCD 是正方形， O 是对角线 AC 、 BD 的交点，
∴ OC = OD ， OC ⊥ OD ， ∠ ODF =∠ OCE =45°
∵
∴∠ DOF +∠ FOC =∠ FOC +∠ EOC =90°
∴∠ DOF =∠ EOC
在 △ DOF 与 △ COE 中
∴
∴ EC = FD
∵ 在 △ EAC 与 △ FBD 中
∴
∴∠ EAC =∠ FBD
又 ∵∠ BQP =∠ AQO
∴∠ BPQ =∠ AOQ =90°
∴ AE ⊥ BF
所以 ① 正确；
②∵∠ AOB =∠ APB =90°
∴ 点 P 、 O 在以 AB 为直径的圆上
∴ AO 是该圆的弦
∴
所以 ② 正确；
③∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
所以 ③ 正确；
④ 作 EG ⊥ AC 于点 G ，则 EG BO ，
∴
设正方形边长为 5 a ，则 BC =5 a ， OB = OC = ，
若 ，则
，
∴
∴
∴
∵ EG ⊥ AC ， ∠ ACB =45° ，
∴∠ GEC =45°
∴ CG = EG =
∴
所以 ④ 错误；
⑤∵ ， S 四边形 OECF = S △ COE + S △ COF
∴ S 四边形 OECF = S △ DOF + S △ COF = S △ COD
∵ S △ COD =
∴ S 四边形 OECF =
所以 ⑤ 正确；
综上， ①②③⑤ 正确， ④ 错误，
故选 B
【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．
二、填空题 (共10题)
添加该题型下试题
1.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴南水北调东线北延工程 2021-2022 年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水 1.89 亿立方米，将数据 1.89 亿用科学记数法表示为 ．
难度：
知识点：有理数的乘除法
使用次数：264
【答案】
【分析】把亿写成 ，最后统一写成 的形式即可．
【详解】解：由题意得： 1.89 亿 = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键．
2.
函数 中自变量 的取值范围是 ．
难度：
知识点：函数
使用次数：220
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0 ，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于 0 进行解题．
3.
如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ，请你添加一个条件 ，使 ．
难度：
知识点：全等三角形
使用次数：266
【答案】
OB = OD （答案不唯一）
【分析】根据 SAS 添加 OB = OD 即可
【详解】解：添加 OB = OD ，
在 △ AOB 和 △ COD 中，
，
∴ （ SAS ）
故答案为 OB = OD （答案不唯一）
【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键．
4.
在一个不透明的口袋中，有 2 个红球和 4 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
难度：
知识点：数据的波动程度
使用次数：250
【答案】
【分析】利用概率公式计算即可．
【详解】 ∵ 不透明的口袋中，有 2 个红球和 4 个白球，
∴ 摸到红球的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
5.
若关于 x 的一元一次不等式组 的解集为 ，则 a 的取值范围是 ．
难度：
知识点：一元一次不等式组
使用次数：198
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解： ，
解不等式 ① 得： ，
解不等式 ② 得： ，
关于 的不等式组 的解集为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
6.
如图，在 中， AB 是 的弦， 的半径为 3cm ， C 为 上一点， ，则 AB 的长为 cm ．
难度：
知识点：等腰三角形
使用次数：212
【答案】
【分析】连接 OA 、 OB ，过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D ，由垂径定理和圆周角定理可得 ， ，再根据等腰三角形的性质可得 ，利用含 30° 角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 OA 、 OB ，过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含 30° 角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
7.
若一个圆锥的母线长为 5cm ，它的侧面展开图的圆心角为 120° ，则这个圆锥的底面半径为 cm ．
难度：
知识点：几何图形
使用次数：125
【答案】
【分析】由于圆锥的母线长为 5cm ，侧面展开图是圆心角为 120° 扇形，设圆锥底面半径为 r cm ，那么圆锥底面圆周长为 2 πr cm ，所以侧面展开图的弧长为 2 πr cm ，然后利用弧长公式即可得到关于 r 的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设圆锥底面半径为 r cm ，
则圆锥底面周长为： cm ，
∴ 侧面展开图的弧长为： cm ，
∴ ，
解得： r = ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8.
如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ， ， AH 是 的平分线， 于点 E ，点 P 是直线 AB 上的一个动点，则 的最小值是 ．
难度：
知识点：等腰三角形
使用次数：159
【答案】
/
【分析】作点 O 关于 AB 的对称点 F ，连接 OF 交 AB 于 G ，连接 PE 交直线 AB 于 P ，连接 PO ，则 PO = PF ，此时， PO + PE 最小，最小值 = EF ，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出 OF ， OE 长，再证明 △ EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出 EF 长即可．
【详解】解：如图，作点 O 关于 AB 的对称点 F ，连接 OF 交 AB 于 G ，连接 PE 交直线 AB 于 P ，连接 PO ，则 PO = PF ，此时， PO + PE 最小，最小值 = EF 的长，
∵ 菱形 ABCD ，
∴ AC ⊥ BD ， OA = OC ， OB = OD ， AD = AB =3 ，
∵∠ BAD =60° ，
∴△ ABD 是等边三角形，
∴ BD = AB =3 ， ∠ BAO =30° ，
∴ OB = = ，
∴ OA = ，
∴ 点 O 关于 AB 的对称点 F ，
∴ OF ⊥ AB ， OG = FG ，
∴ OF =2 OG = OA = ， ∠ AOG =60° ，
∵ CE ⊥ AH 于 E ， OA = OC ，
∴ OE = OC = OA = ，
∴∠ AEC =∠ CAE ，
∵ AH 平分 ∠ BAC ，
∴∠ CAE =15° ，
∴∠ AEO =∠ CAE =15° ，
∴∠ COE =∠ AEO +∠ CAE =30° ，
∴∠ COE +∠ AOG =30°+60°=90° ，
∴∠ FOE =90° ，
∴ 由勾股定理，得 EF = ,
∴ PO + PE 最小值 = ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点 O 关于 AB 的对称点 F ，连接 OF 交 AB 于 G ，连接 PE 交直线 AB 于 P ，连接 PO ，则 PO = PF ，则 PO + PE 最小，最小值 = EF 的长是解题的关键．
9.
在矩形 ABCD 中， ， ，点 E 在边 CD 上，且 ，点 P 是直线 BC 上的一个动点．若 是直角三角形，则 BP 的长为 ．
难度：
知识点：相似三角形
采用次数：214
【答案】
或 或 6
【分析】分三种情况讨论：当 ∠ APE =90° 时，当 ∠ AEP =90° 时，当 ∠ PAE =90° 时，过点 P 作 PF ⊥ DA 交 DA 延长线于点 F ，即可求解．
【详解】解：在矩形 ABCD 中， ， ， ∠ BAD =∠ B =∠ BCD =∠ ADC =90° ，
如图，当 ∠ APE =90° 时，
∴∠ APB +∠ CPE =90° ，
∵∠ BAP +∠ APB =90° ，
∴∠ BAP =∠ CPE ，
∵∠ B =∠ C =90° ，
∴△ ABP ∽△ PCE ，
∴ ，即 ，
解得： BP =6 ；
如图，当 ∠ AEP =90° 时，
∴∠ AED +∠ PEC =90° ，
∵∠ DAE +∠ AED =90° ，
∴∠ DAE =∠ PEC ，
∵∠ C =∠ D =90° ，
∴△ ADE ∽△ ECP ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
如图，当 ∠ PAE =90° 时，过点 P 作 PF ⊥ DA 交 DA 延长线于点 F ，
根据题意得 ∠ BAF =∠ ABP =∠ F =90° ，
∴ 四边形 ABPF 为矩形，
∴ PF = AB =9 ， AF = PB ，
∵∠ PAF +∠ DAE =90° ， ∠ PAF +∠ APF =90° ，
∴∠ DAE =∠ APF ，
∵∠ F =∠ D =90° ，
∴△ APF ∽△ EAD ，
∴ ，即 ，
解得： ，即 ；
综上所述， BP 的长为 或 或 6 ．
故答案为： 或 或 6
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
10.
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， M 为 BC 的中点， OA 、 OB 的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，动点 P 从点 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 向点 B 运动，到达 B 点停止．设运动时间为 t 秒， 的面积为 S ．
(1) 求点 C 的坐标；
(2) 求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
(3) 在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：一次函数
使用次数：263
【答案】
(1) 点 C 坐标为
(2)
(3) 存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【分析】（ 1 ）先求出方程的解，可得 ， ，再由 ，可得 ，然后根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 CD =7 ， ，即可求解；
（ 2 ）分两种情况讨论：当 时，当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，即可求解；
（ 3 ）分三种情况讨论：当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ；当 时；当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，即可求解．
【详解】（ 1 ）解： ，解得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ 点 C 坐标为 ；
（ 2 ）解：当 时， ，
当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，如图，
，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：存在点 P ，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点 P 在 CD 上运动时， 可能是等腰三角形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ C =∠ BAD ， BC = AD =5 ，
∴ ，
∵ 点 M 为 BC 的中点，
∴ ，
当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ，
∴ ，
设 PC = PM = a ，则 PD =7- a ， ，
∵ PF 2 + FM 2 = PM 2 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 时，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，则 ，
∴ ，
∴ PD =7- PC =4 ，
∴ 此时点 P ；
综上所述，存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
1.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴南水北调东线北延工程 2021-2022 年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水 1.89 亿立方米，将数据 1.89 亿用科学记数法表示为 ．
难度：
知识点：有理数的乘除法
使用次数：264
【答案】
【分析】把亿写成 ，最后统一写成
的形式即可．
【详解】解：由题意得： 1.89 亿 = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键．
2.
函数 中自变量
的取值范围是 ．
难度：
知识点：函数
使用次数：220
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0 ，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于 0 进行解题．
3.
如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ，请你添加一个条件 ，使
．
难度：
知识点：全等三角形
使用次数：266
【答案】
OB = OD （答案不唯一）
【分析】根据 SAS 添加 OB = OD 即可
【详解】解：添加 OB = OD ，
在 △ AOB 和 △ COD 中，
，
∴ （ SAS ）
故答案为 OB = OD （答案不唯一）
【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键．
4.
在一个不透明的口袋中，有 2 个红球和 4 个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
难度：
知识点：数据的波动程度
使用次数：250
【答案】
【分析】利用概率公式计算即可．
【详解】 ∵ 不透明的口袋中，有 2 个红球和 4 个白球，
∴ 摸到红球的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
5.
若关于 x 的一元一次不等式组 的解集为
，则 a 的取值范围是 ．
难度：
知识点：一元一次不等式组
使用次数：198
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解： ，
解不等式 ① 得： ，
解不等式 ② 得： ，
关于
的不等式组
的解集为
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
6.
如图，在 中， AB 是
的弦，
的半径为 3cm ， C 为
上一点，
，则 AB 的长为 cm ．
难度：
知识点：等腰三角形
使用次数：212
【答案】
【分析】连接 OA 、 OB ，过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D ，由垂径定理和圆周角定理可得 ，
，再根据等腰三角形的性质可得
，利用含 30° 角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 OA 、 OB ，过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含 30° 角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
7.
若一个圆锥的母线长为 5cm ，它的侧面展开图的圆心角为 120° ，则这个圆锥的底面半径为 cm ．
难度：
知识点：几何图形
使用次数：125
【答案】
【分析】由于圆锥的母线长为 5cm ，侧面展开图是圆心角为 120° 扇形，设圆锥底面半径为 r cm ，那么圆锥底面圆周长为 2 πr cm ，所以侧面展开图的弧长为 2 πr cm ，然后利用弧长公式即可得到关于 r 的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设圆锥底面半径为 r cm ，
则圆锥底面周长为： cm ，
∴ 侧面展开图的弧长为： cm ，
∴ ，
解得： r = ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8.
如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， ，
， AH 是
的平分线，
于点 E ，点 P 是直线 AB 上的一个动点，则
的最小值是 ．
难度：
知识点：等腰三角形
使用次数：159
【答案】
/
【分析】作点 O 关于 AB 的对称点 F ，连接 OF 交 AB 于 G ，连接 PE 交直线 AB 于 P ，连接 PO ，则 PO = PF ，此时， PO + PE 最小，最小值 = EF ，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出 OF ， OE 长，再证明 △ EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出 EF 长即可．
【详解】解：如图，作点 O 关于 AB 的对称点 F ，连接 OF 交 AB 于 G ，连接 PE 交直线 AB 于 P ，连接 PO ，则 PO = PF ，此时， PO + PE 最小，最小值 = EF 的长，
∵ 菱形 ABCD ，
∴ AC ⊥ BD ， OA = OC ， OB = OD ， AD = AB =3 ，
∵∠ BAD =60° ，
∴△ ABD 是等边三角形，
∴ BD = AB =3 ， ∠ BAO =30° ，
∴ OB = =
，
∴ OA = ，
∴ 点 O 关于 AB 的对称点 F ，
∴ OF ⊥ AB ， OG = FG ，
∴ OF =2 OG = OA = ， ∠ AOG =60° ，
∵ CE ⊥ AH 于 E ， OA = OC ，
∴ OE = OC = OA = ，
∴∠ AEC =∠ CAE ，
∵ AH 平分 ∠ BAC ，
∴∠ CAE =15° ，
∴∠ AEO =∠ CAE =15° ，
∴∠ COE =∠ AEO +∠ CAE =30° ，
∴∠ COE +∠ AOG =30°+60°=90° ，
∴∠ FOE =90° ，
∴ 由勾股定理，得 EF = ,
∴ PO + PE 最小值 = ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点 O 关于 AB 的对称点 F ，连接 OF 交 AB 于 G ，连接 PE 交直线 AB 于 P ，连接 PO ，则 PO = PF ，则 PO + PE 最小，最小值 = EF 的长是解题的关键．
9.
在矩形 ABCD 中， ，
，点 E 在边 CD 上，且
，点 P 是直线 BC 上的一个动点．若
是直角三角形，则 BP 的长为 ．
难度：
知识点：相似三角形
采用次数：214
【答案】
或
或 6
【分析】分三种情况讨论：当 ∠ APE =90° 时，当 ∠ AEP =90° 时，当 ∠ PAE =90° 时，过点 P 作 PF ⊥ DA 交 DA 延长线于点 F ，即可求解．
【详解】解：在矩形 ABCD 中， ，
， ∠ BAD =∠ B =∠ BCD =∠ ADC =90° ，
如图，当 ∠ APE =90° 时，
∴∠ APB +∠ CPE =90° ，
∵∠ BAP +∠ APB =90° ，
∴∠ BAP =∠ CPE ，
∵∠ B =∠ C =90° ，
∴△ ABP ∽△ PCE ，
∴ ，即
，
解得： BP =6 ；
如图，当 ∠ AEP =90° 时，
∴∠ AED +∠ PEC =90° ，
∵∠ DAE +∠ AED =90° ，
∴∠ DAE =∠ PEC ，
∵∠ C =∠ D =90° ，
∴△ ADE ∽△ ECP ，
∴ ，即
，
解得： ，
∴ ；
如图，当 ∠ PAE =90° 时，过点 P 作 PF ⊥ DA 交 DA 延长线于点 F ，
根据题意得 ∠ BAF =∠ ABP =∠ F =90° ，
∴ 四边形 ABPF 为矩形，
∴ PF = AB =9 ， AF = PB ，
∵∠ PAF +∠ DAE =90° ， ∠ PAF +∠ APF =90° ，
∴∠ DAE =∠ APF ，
∵∠ F =∠ D =90° ，
∴△ APF ∽△ EAD ，
∴ ，即
，
解得： ，即
；
综上所述， BP 的长为 或
或 6 ．
故答案为： 或
或 6
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
10.
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， M 为 BC 的中点， OA 、 OB 的长分别是一元二次方程 的两个根
，
，动点 P 从点 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线
向点 B 运动，到达 B 点停止．设运动时间为 t 秒，
的面积为 S ．
(1) 求点 C 的坐标；
(2) 求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
(3) 在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：一次函数
使用次数：263
【答案】
(1) 点 C 坐标为
(2)
(3) 存在点 P 或
或
，使
是等腰三角形
【分析】（ 1 ）先求出方程的解，可得 ，
，再由
，可得
，然后根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 CD =7 ，
，即可求解；
（ 2 ）分两种情况讨论：当 时，当
时，过点 A 作
交 CB 的延长线于点 F ，即可求解；
（ 3 ）分三种情况讨论：当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ；当 时；当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，即可求解．
【详解】（ 1 ）解： ，解得
，
，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
，
∴ 点 C 坐标为 ；
（ 2 ）解：当 时，
，
当 时，过点 A 作
交 CB 的延长线于点 F ，如图，
，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：存在点 P ，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点 P 在 CD 上运动时， 可能是等腰三角形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ C =∠ BAD ， BC = AD =5 ，
∴ ，
∵ 点 M 为 BC 的中点，
∴ ，
当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ，
∴ ，
设 PC = PM = a ，则 PD =7- a ， ，
∵ PF 2 + FM 2 = PM 2 ，
∴ ，解得：
，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 时，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，则 ，
∴ ，
∴ PD =7- PC =4 ，
∴ 此时点 P ；
综上所述，存在点 P 或
或
，使
是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
三、解答题 (共7题)
添加该题型下试题
1.
先化简，再求值： ，其中 ．
难度：
知识点：分式的运算
使用次数：254
【答案】
，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出 a 值，然后把 a 值代入化简式计算即可．
【详解】解：原式
，
当 时，
原式
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2.
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．
(1) 将 先向左平移 6 个单位，再向上平移 4 个单位，得到 ，画出两次平移后的 ，并写出点 的坐标；
(2) 画出 绕点 顺时针旋转 90° 后得到 ，并写出点 的坐标；
(3) 在（ 2 ）的条件下，求点 旋转到点 的过程中所经过的路径长（结果保留 ）．
难度：
知识点：弧长和扇形面积
使用次数：175
【答案】
(1) 见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴；
(2) 见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴；
(3) 点 旋转到点 所经过的路径长为
【分析】（ 1 ）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；
（ 2 ）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；
（ 3 ）根据旋转可得点 旋转到点 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（ 1 ）解：如图所示 △ A 1 B 1 C 1 即为所求，
；
（ 2 ）如图所示 △ A 2 B 2 C 2 即为所求， ；
（ 3 ） ∵
∴ 点 旋转到点 所经过的路径长为 ．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，熟练掌握和灵活运用这些知识点是解题的关键．
3.
如图，抛物线 经过点 ，点 ，与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点为 D ．
(1) 求抛物线的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式；
(2) 抛物线上是否存在点 P ，使 的面积是 面积的 4 倍，若存在，请直接写出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：二次函数的图象和性质
使用次数：214
【答案】
(1)
(2) 存在， ，
【分析】（ 1 ）将点 ，点 ，代入抛物线得 ，求出 的值，进而可得抛物线的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式．
（ 2 ）将德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式化成顶点式得 ，可得 点坐标，将 代入得， ，可得 点坐标，求出 的值，根据 可得 ，设 ，则 ，求出 的值，进而可得 点坐标．
【详解】（ 1 ）解： ∵ 抛物线 过点 ，点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 抛物线的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式为： ．
（ 2 ）解：存在．
∵ ，
∴ ，
将 代入得， ，
∴ ，
又 ∵ B （ 2 ， -3 ），
∴ BC // x 轴，
∴ 到线段 的距离为 1 ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，由题意可知点 P 在直线 BC 上方，
则 ，
整理得， ，
解得 ，或 ，
∴ ， ，
∴ 存在点 P ，使 的面积是 面积的 4 倍，点 P 的坐标为 ， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4.
为进一步开展 “ 睡眠管理 ” 工作，某校对部分德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴的睡眠情况进行了问卷调查．设每名德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴平均每天的睡眠时间为 x 小时，其中的分组情况是：
A 组： B 组： C 组： D 组： E 组：
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1) 本次共调查了 _______ 名德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴；
(2) 补全条形统计图；
(3) 在扇形统计图中，求 D 组所对应的扇形圆心角的度数；
(4) 若该校有 1500 名德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴，请估计该校睡眠时间不足 9 小时的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴有多少人？
难度：
知识点：统计调查
使用次数：254
【答案】
(1)100
(2) 补全统计图见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴
(3) D 组所对应的扇形圆心角度数为
(4) 估计该校睡眠时间不足 9 小时的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴有 375 人
【分析】（ 1 ）根据统计图中 组的人数与占比，计算求解即可；
（ 2 ）根据 组人数占比为 ，求出 组人数为 人，然后作差求出 组人数，最后补全统计图即可；
（ 3 ）根据 组人数的占比乘以 计算求解即可；
（ 4 ）根据 两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可．
【详解】（ 1 ）解：由统计图可知，本次共调查了 （人），
故答案为： 100 ．
（ 2 ）解：由统计图可知， 组人数占比为 ，
∴ 组人数为 （人），
∴ 组人数为 （人），
∴ 补全统计图如图所示
（ 3 ）解：由题意知， D 组所对应的扇形圆心角度数为 ，
∴ D 组所对应的扇形圆心角度数为 ．
（ 4 ）解：由题意知， （人）
∴ 估计该校睡眠时间不足 9 小时的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴有 375 人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．
5.
为抗击疫情，支援 B 市， A 市某蔬菜德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴紧急调运两车蔬菜运往 B 市．甲、乙两辆货车从 A 市出发前往 B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达 B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往 B 市．乙车维修完毕后立即返回 A 市．两车离 A 市的距离 y （ km ）与乙车所用时间 x （ h ）之间的函数图象如图所示．
(1) 甲车速度是 _______km/h ，乙车出发时速度是 _______km/h ；
(2) 求乙车返回过程中，乙车离 A 市的距离 y （ km ）与乙车所用时间 x （ h ）的函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3) 乙车出发多少小时，两车之间的距离是 120km ？请直接写出答案．
难度：
知识点：函数
使用次数：154
【答案】
(1)100 60
(2)
(3)3 ， 6.3 ， 9.1
【分析】（ 1 ）根据图象分别得出甲车 5h 的路程为 500km ，乙车 5h 的路程为 300km ，即可确定各自的速度；
（ 2 ）设 ，由图象可得经过点（ 9 ， 300 ），（ 12 ， 0 ）点，利用待定系数法即可确定函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式；
（ 3 ）乙出发的时间为 t 时，相距 120km ，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可．
【详解】（ 1 ）解：根据图象可得，甲车 5 h 的路程为 500km ，
∴ 甲的速度为： 500÷5=100km/h ；
乙车 5 h 的路程为 300km ，
∴ 乙的速度为： 300÷5=60km/h ；
故答案为： 100 ； 60 ；
（ 2 ）设 ，由图象可得经过点（ 9 ， 300 ），（ 12 ， 0 ）点，
代入得 ，
解得
∴ y 与 x 的函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式为 ；
（ 3 ）解：设乙出发的时间为 t 时，相距 120km ，
根据图象可得，
当 0< t <5 时，
100 t -60 t =120 ，
解得： t =3 ；
当 5< t <5.5 时，根据图象可得不满足条件；
当 5.5< t <8 时，
500-100 （ t -5.5 ） -300=120 ，
解得： t =6.3 ；
当 8< t <9 时，
100 （ t -8 ） =120 ，
解得： t =9.2 ，不符合题意，舍去；
当 9< t <12 时，
100× （ 9-8 ） +100 （ t -9 ） +100 （ t -9 ） =120 ，
解得： t =9.1 ；
综上可得：乙车出发 3h 、 6.3h 与 9.1h 时，两车之间的距离为 120km ．
【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键．
6.
和 都是等边三角形．
(1) 将 绕点 A 旋转到图 ① 的位置时，连接 BD ， CE 并延长相交于点 P （点 P 与点 A 重合），有 （或 ）成立；请证明．
(2) 将 绕点 A 旋转到图 ② 的位置时，连接 BD ， CE 相交于点 P ，连接 PA ，猜想线段 PA 、 PB 、 PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3) 将 绕点 A 旋转到图 ③ 的位置时，连接 BD ， CE 相交于点 P ，连接 PA ，猜想线段 PA 、 PB 、 PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
难度：
知识点：三角形全等的判定
使用次数：258
【答案】
(1) 证明见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴
(2) 图 ② 结论： ，证明见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴
(3) 图 ③ 结论：
【分析】（ 1 ）由 △ ABC 是等边三角形，得 AB = AC ，再因为点 P 与点 A 重合，所以 PB = AB ， PC = AC ， PA =0 ，即可得出结论；
（ 2 ）在 BP 上截取 ，连接 AF ，证明 （ SAS ），得 ，再证明 （ SAS ），得 ， ，然后证明 是等边三角形，得 ，即可得出结论；
（ 3 ）在 CP 上截取 ，连接 AF ，证明 （ SAS ），得 ，再证明 （ SAS ），得出 ， ，然后证明 是等边三角形，得 ，即可得出结论： ．
【详解】（ 1 ）证明： ∵△ ABC 是等边三角形，
∴ AB = AC ，
∵ 点 P 与点 A 重合，
∴ PB = AB ， PC = AC ， PA =0 ，
∴ 或 ；
（ 2 ）解：图 ② 结论：
证明：在 BP 上截取 ，连接 AF ，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
∵ AC = AB ， CP = BF ，
∴ （ SAS ），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：图 ③ 结论： ，
理由：在 CP 上截取 ，连接 AF ，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
∵ AB = AC ， BP = CF ，
∴ （ SAS ），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴开展大课间活动，某班需要购买 A 、 B 两种跳绳．已知购进 10 根 A 种跳绳和 5 根 B 种跳绳共需 175 元：购进 15 根 A 种跳绳和 10 根 B 种跳绳共需 300 元．
(1) 求购进一根 A 种跳绳和一根 B 种跳绳各需多少元？
(2) 设购买 A 种跳绳 m 根，若班级计划购买 A 、 B 两种跳绳共 45 根，所花费用不少于 548 元且不多于 560 元，则有哪几种购买方案？
(3) 在（ 2 ）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
难度：
知识点：一元一次不等式组
使用次数：217
【答案】
(1) 购进一根 A 种跳绳需 10 元，购进一根 B 种跳绳需 15 元
(2) 有三种方案：方案一：购买 A 种跳绳 23 根， B 种跳绳 22 根；方案二：购买 A 种跳绳 24 根， B 种跳绳 21 根；方案三：购买 A 种跳绳 25 根， B 种跳绳 20 根
(3) 方案三需要费用最少，最少费用是 550 元
【分析】（ 1 ）设购进一根 A 种跳绳需 x 元，购进一根 B 种跳绳需 y 元，可列方程组 ，解方程组即可求得结果；
（ 2 ）根据题意可列出不等式组 ，解不等式组得到解集再结合 m 为正整数即可确定方案；
（ 3 ）设购买跳绳所需费用为 w 元，根据题意，得 ，结合函数的性质，可知 w 随 m 的增大而减小，由此即可求得答案．
【详解】（ 1 ）解：设购进一根 A 种跳绳需 x 元，购进一根 B 种跳绳需 y 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：购进一根 A 种跳绳需 10 元，购进一根 B 种跳绳需 15 元；
（ 2 ）根据题意，得 ，
解得 ，
∵ m 为整数， ∴ m 可取 23 ， 24 ， 25 ．
∴ 有三种方案：方案一：购买 A 种跳绳 23 根， B 种跳绳 22 根；
方案二：购买 A 种跳绳 24 根， B 种跳绳 21 根；
方案三：购买 A 种跳绳 25 根， B 种跳绳 20 根；
（ 3 ）设购买跳绳所需费用为 w 元，根据题意，得
∵ ，
∴ w 随 m 的增大而减小，
∴ 当 时， w 有最小值，即 w （元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是 550 元．
【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
1.
先化简，再求值： ，其中
．
难度：
知识点：分式的运算
使用次数：254
【答案】
，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出 a 值，然后把 a 值代入化简式计算即可．
【详解】解：原式
，
当 时，
原式
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2.
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为
，
，
．
(1) 将 先向左平移 6 个单位，再向上平移 4 个单位，得到
，画出两次平移后的
，并写出点
的坐标；
(2) 画出 绕点
顺时针旋转 90° 后得到
，并写出点
的坐标；
(3) 在（ 2 ）的条件下，求点 旋转到点
的过程中所经过的路径长（结果保留
）．
难度：
知识点：弧长和扇形面积
使用次数：175
【答案】
(1) 见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴；
(2) 见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴；
(3) 点 旋转到点
所经过的路径长为
【分析】（ 1 ）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；
（ 2 ）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；
（ 3 ）根据旋转可得点 旋转到点
为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（ 1 ）解：如图所示 △ A 1 B 1 C 1 即为所求，
；
（ 2 ）如图所示 △ A 2 B 2 C 2 即为所求， ；
（ 3 ） ∵
∴ 点 旋转到点
所经过的路径长为
．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，熟练掌握和灵活运用这些知识点是解题的关键．
3.
如图，抛物线 经过点
，点
，与 y 轴交于点 C ，抛物线的顶点为 D ．
(1) 求抛物线的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式；
(2) 抛物线上是否存在点 P ，使 的面积是
面积的 4 倍，若存在，请直接写出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：二次函数的图象和性质
使用次数：214
【答案】
(1)
(2) 存在， ，
【分析】（ 1 ）将点 ，点
，代入抛物线得
，求出
的值，进而可得抛物线的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式．
（ 2 ）将德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式化成顶点式得 ，可得
点坐标，将
代入得，
，可得
点坐标，求出
的值，根据
可得
，设
，则
，求出
的值，进而可得
点坐标．
【详解】（ 1 ）解： ∵ 抛物线 过点
，点
，
∴ ，
解得 ，
∴ 抛物线的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式为： ．
（ 2 ）解：存在．
∵ ，
∴ ，
将 代入得，
，
∴ ，
又 ∵ B （ 2 ， -3 ），
∴ BC // x 轴，
∴ 到线段
的距离为 1 ，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，由题意可知点 P 在直线 BC 上方，
则 ，
整理得， ，
解得 ，或
，
∴ ，
，
∴ 存在点 P ，使 的面积是
面积的 4 倍，点 P 的坐标为
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4.
为进一步开展 “ 睡眠管理 ” 工作，某校对部分德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴的睡眠情况进行了问卷调查．设每名德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴平均每天的睡眠时间为 x 小时，其中的分组情况是：
A 组： B 组：
C 组：
D 组：
E 组：
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1) 本次共调查了 _______ 名德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴；
(2) 补全条形统计图；
(3) 在扇形统计图中，求 D 组所对应的扇形圆心角的度数；
(4) 若该校有 1500 名德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴，请估计该校睡眠时间不足 9 小时的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴有多少人？
难度：
知识点：统计调查
使用次数：254
【答案】
(1)100
(2) 补全统计图见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴
(3) D 组所对应的扇形圆心角度数为
(4) 估计该校睡眠时间不足 9 小时的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴有 375 人
【分析】（ 1 ）根据统计图中 组的人数与占比，计算求解即可；
（ 2 ）根据 组人数占比为
，求出
组人数为
人，然后作差求出
组人数，最后补全统计图即可；
（ 3 ）根据 组人数的占比乘以
计算求解即可；
（ 4 ）根据 两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可．
【详解】（ 1 ）解：由统计图可知，本次共调查了 （人），
故答案为： 100 ．
（ 2 ）解：由统计图可知， 组人数占比为
，
∴ 组人数为
（人），
∴ 组人数为
（人），
∴ 补全统计图如图所示
（ 3 ）解：由题意知， D 组所对应的扇形圆心角度数为 ，
∴ D 组所对应的扇形圆心角度数为 ．
（ 4 ）解：由题意知， （人）
∴ 估计该校睡眠时间不足 9 小时的德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴有 375 人．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．
5.
为抗击疫情，支援 B 市， A 市某蔬菜德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴紧急调运两车蔬菜运往 B 市．甲、乙两辆货车从 A 市出发前往 B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达 B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往 B 市．乙车维修完毕后立即返回 A 市．两车离 A 市的距离 y （ km ）与乙车所用时间 x （ h ）之间的函数图象如图所示．
(1) 甲车速度是 _______km/h ，乙车出发时速度是 _______km/h ；
(2) 求乙车返回过程中，乙车离 A 市的距离 y （ km ）与乙车所用时间 x （ h ）的函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3) 乙车出发多少小时，两车之间的距离是 120km ？请直接写出答案．
难度：
知识点：函数
使用次数：154
【答案】
(1)100 60
(2)
(3)3 ， 6.3 ， 9.1
【分析】（ 1 ）根据图象分别得出甲车 5h 的路程为 500km ，乙车 5h 的路程为 300km ，即可确定各自的速度；
（ 2 ）设 ，由图象可得经过点（ 9 ， 300 ），（ 12 ， 0 ）点，利用待定系数法即可确定函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式；
（ 3 ）乙出发的时间为 t 时，相距 120km ，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可．
【详解】（ 1 ）解：根据图象可得，甲车 5 h 的路程为 500km ，
∴ 甲的速度为： 500÷5=100km/h ；
乙车 5 h 的路程为 300km ，
∴ 乙的速度为： 300÷5=60km/h ；
故答案为： 100 ； 60 ；
（ 2 ）设 ，由图象可得经过点（ 9 ， 300 ），（ 12 ， 0 ）点，
代入得 ，
解得
∴ y 与 x 的函数德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴式为 ；
（ 3 ）解：设乙出发的时间为 t 时，相距 120km ，
根据图象可得，
当 0< t <5 时，
100 t -60 t =120 ，
解得： t =3 ；
当 5< t <5.5 时，根据图象可得不满足条件；
当 5.5< t <8 时，
500-100 （ t -5.5 ） -300=120 ，
解得： t =6.3 ；
当 8< t <9 时，
100 （ t -8 ） =120 ，
解得： t =9.2 ，不符合题意，舍去；
当 9< t <12 时，
100× （ 9-8 ） +100 （ t -9 ） +100 （ t -9 ） =120 ，
解得： t =9.1 ；
综上可得：乙车出发 3h 、 6.3h 与 9.1h 时，两车之间的距离为 120km ．
【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键．
6.
和
都是等边三角形．
(1) 将 绕点 A 旋转到图 ① 的位置时，连接 BD ， CE 并延长相交于点 P （点 P 与点 A 重合），有
（或
）成立；请证明．
(2) 将 绕点 A 旋转到图 ② 的位置时，连接 BD ， CE 相交于点 P ，连接 PA ，猜想线段 PA 、 PB 、 PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3) 将 绕点 A 旋转到图 ③ 的位置时，连接 BD ， CE 相交于点 P ，连接 PA ，猜想线段 PA 、 PB 、 PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
难度：
知识点：三角形全等的判定
使用次数：258
【答案】
(1) 证明见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴
(2) 图 ② 结论： ，证明见德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴
(3) 图 ③ 结论：
【分析】（ 1 ）由 △ ABC 是等边三角形，得 AB = AC ，再因为点 P 与点 A 重合，所以 PB = AB ， PC = AC ， PA =0 ，即可得出结论；
（ 2 ）在 BP 上截取 ，连接 AF ，证明
（ SAS ），得
，再证明
（ SAS ），得
，
，然后证明
是等边三角形，得
，即可得出结论；
（ 3 ）在 CP 上截取 ，连接 AF ，证明
（ SAS ），得
，再证明
（ SAS ），得出
，
，然后证明
是等边三角形，得
，即可得出结论：
．
【详解】（ 1 ）证明： ∵△ ABC 是等边三角形，
∴ AB = AC ，
∵ 点 P 与点 A 重合，
∴ PB = AB ， PC = AC ， PA =0 ，
∴ 或
；
（ 2 ）解：图 ② 结论：
证明：在 BP 上截取 ，连接 AF ，
∵ 和
都是等边三角形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
∵ AC = AB ， CP = BF ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：图 ③ 结论： ，
理由：在 CP 上截取 ，连接 AF ，
∵ 和
都是等边三角形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
∵ AB = AC ， BP = CF ，
∴ （ SAS ），
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7.
德赢手机版下载正式成为世界杯官方合作伙伴开展大课间活动，某班需要购买 A 、 B 两种跳绳．已知购进 10 根 A 种跳绳和 5 根 B 种跳绳共需 175 元：购进 15 根 A 种跳绳和 10 根 B 种跳绳共需 300 元．
(1) 求购进一根 A 种跳绳和一根 B 种跳绳各需多少元？
(2) 设购买 A 种跳绳 m 根，若班级计划购买 A 、 B 两种跳绳共 45 根，所花费用不少于 548 元且不多于 560 元，则有哪几种购买方案？
(3) 在（ 2 ）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
难度：
知识点：一元一次不等式组
使用次数：217
【答案】
(1) 购进一根 A 种跳绳需 10 元，购进一根 B 种跳绳需 15 元
(2) 有三种方案：方案一：购买 A 种跳绳 23 根， B 种跳绳 22 根；方案二：购买 A 种跳绳 24 根， B 种跳绳 21 根；方案三：购买 A 种跳绳 25 根， B 种跳绳 20 根
(3) 方案三需要费用最少，最少费用是 550 元
【分析】（ 1 ）设购进一根 A 种跳绳需 x 元，购进一根 B 种跳绳需 y 元，可列方程组 ，解方程组即可求得结果；
（ 2 ）根据题意可列出不等式组 ，解不等式组得到解集再结合 m 为正整数即可确定方案；
（ 3 ）设购买跳绳所需费用为 w 元，根据题意，得 ，结合函数的性质，可知 w 随 m 的增大而减小，由此即可求得答案．
【详解】（ 1 ）解：设购进一根 A 种跳绳需 x 元，购进一根 B 种跳绳需 y 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：购进一根 A 种跳绳需 10 元，购进一根 B 种跳绳需 15 元；
（ 2 ）根据题意，得 ，
解得 ，
∵ m 为整数， ∴ m 可取 23 ， 24 ， 25 ．
∴ 有三种方案：方案一：购买 A 种跳绳 23 根， B 种跳绳 22 根；
方案二：购买 A 种跳绳 24 根， B 种跳绳 21 根；
方案三：购买 A 种跳绳 25 根， B 种跳绳 20 根；
（ 3 ）设购买跳绳所需费用为 w 元，根据题意，得
∵ ，
∴ w 随 m 的增大而减小，
∴ 当 时， w 有最小值，即 w
（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是 550 元．
【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
四、未分类 (共1题)
添加该题型下试题
1.
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， M 为 BC 的中点， OA 、 OB 的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，动点 P 从点 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线 向点 B 运动，到达 B 点停止．设运动时间为 t 秒， 的面积为 S ．
(1) 求点 C 的坐标；
(2) 求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
(3) 在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：未分类
使用次数：212
【答案】
(1) 点 C 坐标为
(2)
(3) 存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【分析】（ 1 ）先求出方程的解，可得 ， ，再由 ，可得 ，然后根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 CD =7 ， ，即可求解；
（ 2 ）分两种情况讨论：当 时，当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，即可求解；
（ 3 ）分三种情况讨论：当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ；当 时；当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，即可求解．
【详解】（ 1 ）解： ，解得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ 点 C 坐标为 ；
（ 2 ）解：当 时， ，
当 时，过点 A 作 交 CB 的延长线于点 F ，如图，
，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：存在点 P ，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点 P 在 CD 上运动时， 可能是等腰三角形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ C =∠ BAD ， BC = AD =5 ，
∴ ，
∵ 点 M 为 BC 的中点，
∴ ，
当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ，
∴ ，
设 PC = PM = a ，则 PD =7- a ， ，
∵ PF 2 + FM 2 = PM 2 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 时，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，则 ，
∴ ，
∴ PD =7- PC =4 ，
∴ 此时点 P ；
综上所述，存在点 P 或 或 ，使 是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
1.
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上， M 为 BC 的中点， OA 、 OB 的长分别是一元二次方程 的两个根
，
，动点 P 从点 D 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿折线
向点 B 运动，到达 B 点停止．设运动时间为 t 秒，
的面积为 S ．
(1) 求点 C 的坐标；
(2) 求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
(3) 在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：未分类
使用次数：212
【答案】
(1) 点 C 坐标为
(2)
(3) 存在点 P 或
或
，使
是等腰三角形
【分析】（ 1 ）先求出方程的解，可得 ，
，再由
，可得
，然后根据四边形 ABCD 是平行四边形，可得 CD =7 ，
，即可求解；
（ 2 ）分两种情况讨论：当 时，当
时，过点 A 作
交 CB 的延长线于点 F ，即可求解；
（ 3 ）分三种情况讨论：当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ；当 时；当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，即可求解．
【详解】（ 1 ）解： ，解得
，
，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
，
∴ 点 C 坐标为 ；
（ 2 ）解：当 时，
，
当 时，过点 A 作
交 CB 的延长线于点 F ，如图，
，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：存在点 P ，使 是等腰三角形，理由如下：
根据题意得：当点 P 在 CD 上运动时， 可能是等腰三角形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ C =∠ BAD ， BC = AD =5 ，
∴ ，
∵ 点 M 为 BC 的中点，
∴ ，
当 CP = PM 时，过点 M 作 MF ⊥ PC 于点 F ，
∴ ，
设 PC = PM = a ，则 PD =7- a ， ，
∵ PF 2 + FM 2 = PM 2 ，
∴ ，解得：
，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 时，
∴ ，
∴ 此时点 P ；
当 PM = CM 时，过点 M 作 MG ⊥ PC 于点 G ，则 ，
∴ ，
∴ PD =7- PC =4 ，
∴ 此时点 P ；
综上所述，存在点 P 或
或
，使
是等腰三角形
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
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