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甲、乙两人都决定去长白山的概率为 ．

【分析】画树状图，共有 9 种等可能的结果，其中两人都决定去长白山的结果有 1 种，再由概率公式求解即可．

【详解】解：长白山、松花湖、净月潭依次用字母 A ， B ， C 表示，

画树状图如下：

共有 9 种等可能的结果，其中甲、乙两人都决定去长白山的结果有 1 种，

∴ 甲、乙两人都决定去长白山的概率为 ．

【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及随机事件等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率 = 所求情况数与总情况数之比．

(1) 图见德赢手机版下载最新优惠

(2) 图见德赢手机版下载最新优惠

【分析】（ 1 ）以 所在直线为对称轴，找出点 的对称点即为点 ，再顺次连接点 即可得；

（ 2 ）根据点 平移至点 的方式，将点 进行平移即可得点 ，再顺次连接点 即可得．

【详解】（ 1 ）解：如图 ① ，四边形 是轴对称图形．

（ 2 ）解：先将点 向左平移 2 格，再向上平移 1 个可得到点 ，

则将点 按照同样的平移方式可得到点 ，

如图 ② ，平行四边形 是中心对称图形．

【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形、平移作图，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键．

160 个

【分析】设李婷每分钟跳绳的个数为 个，则刘芳每分钟跳绳的个数为 个，根据 “ 刘芳跳 135 个所用的时间与李婷跳 120 个所用的时间相等 ” 建立方程，解方程即可得．

【详解】解：设李婷每分钟跳绳的个数为 个，则刘芳每分钟跳绳的个数为 个，

由题意得： ，

解得 ，

经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意，

答：李婷每分钟跳绳的个数为 160 个．

【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确找出等量关系，并建立方程是解题关键．

(1)

(2)1

【分析】（ 1 ）用待定系数法即可完成；

（ 2 ）把 V =10 值代入（ 1 ）所求得的德赢手机版下载最新优惠式中，即可求得该气体的密度．

【详解】（ 1 ）设密度 关于体积 的函数德赢手机版下载最新优惠式为 ，

把点 A 的坐标代入上式中得： ，

解得： k =10 ，

∴ ．

（ 2 ）当 时， （ ）．

即此时该气体的密度为 1 ．

【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的德赢手机版下载最新优惠式及求反比例函数的函数值等知识，由图像求得反比例函数德赢手机版下载最新优惠式是关键．

点 A 到 CD 的距离 AE 的长度约为 88cm ．

【分析】根据正弦的概念即可求解．

【详解】解：在 Rt △ ACE 中， ∠ AEC =90° ， ∠ ACE =58° ， AC = AB + BC =34+70=104(cm) ，

∵sin∠ ACE = ，即 sin58°= ，

∴ AE =104×0.85=88.4≈88(cm) ，

∴ 点 A 到 CD 的距离 AE 的长度约为 88cm ．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．

(1)

(2)

(3)①

【分析】（ 1 ）根据中位数的定义即可得；

（ 2 ）根据城镇化率的计算公式即可得；

（ 3 ）根据全国常住人口城镇化率逐年上升的趋势，可估计 2022 年年末全国常住人口城镇化率高于 ，由此即可得出答案．

【详解】（ 1 ）解： 2017-2021 年年末，全国常住人口城镇化率按从小到大进行排序为 ， ， ， ， ，则排在中间位置的数即为中位数，

所以中位数为 ，

故答案为： ．

（ 2 ）解： 2021 年年末全国城镇常住人口为 万人，

故答案为： ．

（ 3 ）解： 2017-2021 年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计 2022 年年末全国常住人口城镇化率高于 ，则推断 ① 较为合理；

全国常住人口城镇化率 2020 年年末比 2019 年年末增加 ， 2021 年年末比 2020 年年末增加 ，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，可估计全国常住人口城镇化率 2022 年年末比 2021 年年末增加幅度小于 ，但 2022 年年末全国常住人口城镇化率会高于 ，则推断 ② 不合理；

故答案为： ① ．

【点睛】本题考查了中位数和折线统计图，读懂折线统计图是解题关键．

(1)20

(2)

(3)65

【分析】（ 1 ）根据 时， 即可得；

（ 2 ）先判断出乙壶对应的函数图象经过点 ，再利用待定系数法即可得；

（ 3 ）先利用待定系数法求出甲壶中 与 的函数德赢手机版下载最新优惠式，再求出 时， 的值，然后将 的值代入乙壶中 与 的函数德赢手机版下载最新优惠式即可得．

【详解】（ 1 ）解：由函数图象可知，当 时， ，

则加热前水温是 ，

故答案为： 20 ．

（ 2 ）解：因为甲壶比乙壶加热速度快，

所以乙壶对应的函数图象经过点 ，

设乙壶中水温 关于加热时间 的函数德赢手机版下载最新优惠式为 ，

将点 代入得： ，

解得 ，

则乙壶中水温 关于加热时间 的函数德赢手机版下载最新优惠式为 ，

自变量 x 的取值范围是 0≤ x ≤160 ．

（ 3 ）解：设甲壶中水温 关于加热时间 的函数德赢手机版下载最新优惠式为 ，

将点 代入得： ，

解得 ，

则甲壶中水温 关于加热时间 的函数德赢手机版下载最新优惠式为 ，

当 时， ，解得 ，

将 代入 得： ，

即当甲壶中水温刚达到 时，乙壶中水温是 ，

故答案为： 65 ．

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象，并熟练掌握待定系数法是解题关键．

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(3)

【分析】（ 1 ）根据三角形的面积公式可得 ，由此即可得证；

（ 2 ）过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，先根据平行线的判定可得 ，再根据相似三角形的判定可证 ，根据相似三角形的性质可得 ，然后结合【探究】（ 1 ）的结论即可得证；

（ 3 ）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先根据相似三角形的判定证出 ，再根据相似三角形的性质可得 ，然后根据三角形的面积公式可得 ， ，由此即可得出答案．

【详解】（ 1 ）证明： ， ，

．

（ 2 ）证明：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，则 ，

．

．

．

由【探究】（ 1 ）可知 ，

．

（ 3 ）解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则 ，

，

，

，

点 所对应的刻度值分别为 5 ， ， 0 ，

， ，

，

又 ， ，

，

故答案为： ．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．

(1)2 x

(2)1

(3)

【分析】（ 1 ）先证明 ∠ A =∠ AQP =30° ，即 AP = PQ ，根据题意有 AP =2 x ，即 PQ =2 x ；

（ 2 ）当 M 点在 BC 上， Q 点在 AC 上，在（ 1 ）中已求得 AP = PQ =2 x ，再证明 △ MNB 是等边三角形，即有 BN = MN ，根据 AB =6 x =6cm ，即有 x =1 （ s ）；

（ 3 ）分类讨论：当 时，此时菱形 PQMN 在 △ ABC 的内部，此时菱形 PQMN 与 △ ABC 重叠的面积即是菱形 PQMN 的面积，过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，求出菱形的面积即可；当 x ＞ 1 ，且 Q 点在线段 AC 上时，过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，设 QM 交 BC 于 F 点， MN 交 BC 于 E 点，过 M 点作 NH ⊥ EF 于 H 点，先证明 △ ENB 是等边三角形、 △ MEF 是等边三角形，重叠部分是菱形 PQMN 的面积减去等边 △ MEF 的面积，求出菱形 PQMN 的面积和等边 △ MEF 的面积即可，此时需要求出当 Q 点在 C 点时的临界条件；当 时，此时 Q 点在线段 BC 上，此时 N 点始终与 B 点重合，过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，重叠部分的面积就是 △ PBQ 的面积，求出等边 △ PBQ 的面积即可．

【详解】（ 1 ）当 Q 点在 AC 上时，

∵∠ A =30° ， ∠ APQ =120° ，

∴∠ AQP =30° ，

∴∠ A =∠ AQP ，

∴ AP = PQ ，

∵ 运动速度为每秒 2cm ，运动时间为 x 秒，

∴ AP =2 x ，

∴ PQ =2 x ；

（ 2 ）当 M 点在 BC 上， Q 点在 AC 上，如图，

在（ 1 ）中已求得 AP = PQ =2 x ，

∵ 四边形 QPMN 是菱形，

∴ PQ = PN = MN =2 x ， ，

∵∠ APQ =120° ，

∴∠ QPB =60° ，

∵ ，

∴∠ MNB =∠ QPB =60° ，

∵ 在 Rt △ ABC 中， ∠ C =90° ， ∠ A =30° ，

∴∠ B =60° ，

∴△ MNB 是等边三角形，

∴ BN = MN ，

∴ AB = AP + PN + BN =2 x ×3=6 x =6cm ，

∴ x =1 （ s ）；

（ 3 ）当 P 点运动到 B 点时，用时 6÷2=3 （ s ），

即 x 的取值范围为： ，

当 M 点刚好在 BC 上时，

在（ 2 ）中已求得此时 x =1 ，

分情况讨论，

即当 时，此时菱形 PQMN 在 △ ABC 的内部，

∴ 此时菱形 PQMN 与 △ ABC 重叠的面积即是菱形 PQMN 的面积，

过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，如图，

∵∠ APQ =120° ，

∴∠ QPN =60° ，即菱形 PQMN 的内角 ∠ QPN =∠ QMN =60° ，

∴ QG = PQ ×sin∠ QPN =2 x ×sin60°= ，

∴ 重叠的面积等于菱形 PQMN 的面积为，即为： ；

当 x ＞ 1 ，且 Q 点在线段 AC 上时，

过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，设 QM 交 BC 于 F 点， MN 交 BC 于 E 点，过 M 点作 NH ⊥ EF 于 H 点，如图，

∵ ，

∴∠ MNB =∠ QPN =60 ，

∵∠ B =60° ，

∴△ ENB 是等边三角形，

同理可证明 △ MEF 是等边三角形

∴ BN = NE ， ∠ MEF =60° ， ME = EF ，

∵ AP = PQ = PN = MN =2 x ， AB =6 ，

∴ BN =6- AN =6-4 x ，

∴ ME = MN - NE =2 x - BN =6 x -6 ，

∵ MH ⊥ EF ，

∴ MH = ME ×sin∠ MEH =(6 x -6)×sin60°= ，

∴△ MEF 的面积为： ，

QG = PQ ×sin∠ QPN =2 x ×sin60°= ，

∵ 菱形 PQMN 的面积为 ，

∴ 重叠部分的面积为 ，

当 Q 点与 C 点重合时，可知此时 N 点与 B 点重合，如图，

∵∠ CPB =∠ CBA =60° ，

∴△ PBC 是等边三角形，

∴ PC = PB ，

∵ AP = PQ =2 x ，

∴ AP = PB =2 x ，

∴ AB = AP + PB =4 x =6 ，

则 x = ，

即此时重合部分的面积为： ， ；

当 时，此时 Q 点在线段 BC 上，此时 N 点始终与 B 点重合，过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，如图，

∵ AP =2 x ，

∴ PB = AB - AP =6-2 x ，

∵∠ QPB =∠ ABC =60° ，

∴△ PQB 是等边三角形，

∴ PQ = PB ，同时印证菱形 PQMN 的顶点 N 始终与 B 点重合，

∴ QG = PQ ×sin∠ QPN =(6-2 x )×sin60°= ，

∴ ，

∴ 此时重叠部分的面积 ，

综上所述： ．

【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中 Q 点的位置以及菱形 PQMN 的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．

(1)

(2) 或

(3)① 或 3 ； ② 或 或

【分析】（ 1 ）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；

（ 2 ）先根据抛物线的德赢手机版下载最新优惠式求出此抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，再画出函数图象，由此即可得；

（ 3 ） ① 先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点 的坐标，再分 和 两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得；

② 设点 的坐标为 ，分 和 两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得．

【详解】（ 1 ）解：将点 代入 得： ，

解得 ，

则此抛物线的德赢手机版下载最新优惠式为 ．

（ 2 ）解：对于二次函数 ，

当 时， ，解得 或 ，

则此抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，

画出函数图象如下：

则当点 在 轴上方时， 的取值范围为 或 ．

（ 3 ）解： ① 二次函数 的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，

当 时， ，

即 ，

（ Ⅰ ）如图，当 时，

当 时， 随 的增大而减小，

则此时点 即为最低点，

所以 ，

解得 或 （不符题设，舍去）；

（ Ⅱ ）如图，当 时，

当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，

则此时抛物线的顶点即为最低点，

所以 ，

解得 ，符合题设，

综上， 的值为 或 3 ；

② 设点 的坐标为 ，

由题意，分以下两种情况：

（ Ⅰ ）如图，当 时，设对称轴直线 与 轴的交点为点 ，

则在等腰 中，只能是 ，

垂直平分 ，且 ，

（等腰三角形的三线合一），

，

解得 ，

则此时点 的坐标为 或 ；

（ Ⅱ ）当 时，

由（ 3 ） ① 可知，此时 ，

则点 ，

，

，

，

当 时， 是等腰直角三角形，

则 ，即 ，

方程组无解，

所以此时不存在符合条件的点 ；

当 时， 是等腰直角三角形，

则 ，即 ，

解得 ，

所以此时点 的坐标为 ；

当 时， 是等腰直角三角形，

则 ，即 ，

方程组无解，

所以此时不存在符合条件的点 ；

综上，点 的坐标为 或 或 ．

【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．